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Wahrscheinlichkeitsrechnung - Übungen, Beispiele und Berechnungen zu Wahrscheinlichkeiten

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Wahrscheinlichkeitsrechnung

Übungen, Beispiele und Berechnungen zu Wahrscheinlichkeiten

Aufgabe 1:

Ein Würfel wird einmal geworfen, dabei gibt es folgende Ereignisse:

A: Die Augenzahl ist ungerade.
B: Die Augenzahl ˃ 3.
C: Die Augenzahl ist 2 oder 6

Stimmt folgende Aussage?

  1. A & B sind unabhängig
  2. A & C sind nicht unabhängig
  3. B & C sind nicht unabhängig

Vertiefung

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Lösung 1a:

Zunächst schreibt man die Mengen A und B auf:
$A$ = {1,3,5}, $B$ = {4,5,6}

$(A\cap B)$ = Augenzahl gerade und Augenzahl größer als 3.

Wahrscheinlichkeit des Schnitts $P ({A\cap B}) = P $$({5})$ $= { \textrm{#A} \over {\textrm {#Ω}}}={1\over{6}}$

$(A$ & $B)$ sind unabhängig, wenn gilt: $P ({A \cap B}) = P (A)$ ∙ $P(B)$
$⇔{1\over{6}} ≠ {3\over{6}}\cdot {3\over{6}} ⇔{1\over{6}} ≠ {3\over{6}}\cdot {3\over{6}} ⇔ {1\over{6}} ≠ {1\over{4}}$

Somit sind A und B voneinander abhängig.

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Lösung 1b:

Zunächst schreibt man die Mengen A und C auf:
$A$ = {1,3,5}, $C$ = {2,6}.

$(A \cap C)$ = Augenzahl ungerade & 2 oder 6.

Dies ist aber nicht machbar, da $P (A \cap C) = P ({ }) =  0$

Unabhängigkeit gilt, wenn: $P (A \cap C) = P (A)$ ∙ $P(C) ⇒ 0 ≠ {3\over{6}}\cdot {2\over{6}}$,

Somit sind A und C voneinander abhängig.

Vertiefung

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Lösung 1c:

Zunächst schreibt man die Mengen B und C auf:
$B$ = {4,5,6}, $C$ = {2,6}

$P (B \cap C) = P (B)$ ∙$ P(C)$ = Augenzahl größer 3 und Augenzahl 2 oder 6

Wahrscheinlichkeit des Schnitts: $P (B \cap C) = P ({6}) = {1\over{6}}$ .

$(B$ & $C)$ sind unabhängig, wenn gilt:

$P ({B \cap C}) = P (B)$ ∙ $P(C) ⇔ {1\over{6}} = {3\over{6}}\cdot {2\over{6}} ⇔ {1\over{6}} = {1\over{2}}\cdot {1\over{3}} ⇔ {1\over{6}} ={1\over{6}}$.

Somit sind B und C unabhängig und die Aussage ist falsch.

 

 

Aufgabe 2:

Bei der Einschulung der Erstklässler sagt der Schulleiter, dass 60 % aller Schülerinnen und Schüler am Ende der 4. Klasse eine Empfehlung fürs Gymnasium bekommen. Welcher Wahrscheinlichkeitsbegriff liegt hier vor?

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Lösung 2:
  • Hier liegt zunächst einmal der subjektive Wahrscheinlichkeitsbegriff vor, weil es erstmal nur eine persönliche Meinung ist.

  • Sollte der Schulleiter dies jedoch an der relativen Häufigkeit der vergangenen Jahrgänge festmachen, die stets 60% betrug, dann wäre es der statistische Wahrscheinlichkeitsbegriff.

 

Aufgabe 3:

In der Gemeinschafts Grundschule Musterstadt kommen mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,9 mindestens 4 Schüler zuspät zum Unterricht und mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,4 höchstens sechs.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass zwischen vier und sechs Schüler zuspät im Unterricht erscheinen?

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Lösung:

$A$= min. 4 Schüler zuspät = 0,9

$B$= max. 6 Schüler zuspät = 0,4

Somit ist P(A $\cap$ B) gesucht.

Weiterhin ist (A $\cup$ B) bekannt, dass min. vier oder max. sechs Schüler zuspät kommen. Dies sagt nämlich aus, dass jede Anzahl (0, 1, 2, … , 9, 10, 11, … , 999, … ) an Schülern theoretisch zuspät kommen kann.

$P(A \cup B) = P(Ω) $= 1

$⇒$ der Additionssatz kann verwendet werden: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)$

$P(A \cap B) = P(A) + P(B) – P(A \cup B )$ = 0,9 + 0,4 – 1 = 0,3

Aufgabe 5:

Ein Würfel wird zweimal geworfen. Das Ereignis A bestehe darin, beim erstem Wurf eine Vier zu werfen, das Ereignis B darin, im zweiten Wurf eine Drei zu werfen, und das Ereignis C sei das Ereignis, dass die Augensumme gerade ist.

Untersuche die

  1. paarweise Unabhängigkeit und
  2. die gemeinsame Unabhängigkeit.

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Lösung 5a:

A = {(4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6)}, also eine Menge mit sechs Elementen. A besteht also aus jenen Zweier-Tupeln, die eine 4 vorne stehen haben. Entsprechend ist
B = {(1,3), (2,3), (3,3), (4,3), (5,3), (6,3)} das Ereignis, im zweiten Wurf eine 3 zu würfeln, also ebenfalls eine Menge mit sechs Elementen.
C = {(1,1), (1,3), (1,5), (2,2), (2,4), (2,6), (3,1), (3,3), (3,5), (4,2), (4,4), (4,6), (5,1), (5,3), (5,5), (6,2), (6,4), (6,6)}, also eine Menge mit 18 Elementen. Die Menge C ist komplizierter, denn es muss vorne und hinten jeweils eine gerade Zahl oder beide Male eine ungerade Zahl stehen. So ist (2,4) $\in$ C und (1,3)$\in$ C, aber (3,4)$\notin$ C, da ein Eintrag (die 3) zwar ungerade, der andere (die 4) aber gerade ist.

Sind A und B unabhängig?

A und B gleichzeitig ist nur erfüllt beim Ereignis (4,3), denn es steht vorne eine 4 und hinten eine 3. Also ist P(A $\cap$ B) = P({(4,3)} = $ {1\over{36}}$ . Es gilt P(A)∙P(B) =$ {6\over{36}} \cdot {6\over{36}} = {1\over{36}}$ , und dies ist gleich der Wahrscheinlichkeit für P(A $\cap$ B). Also wegen P(A $\cap$ B) = P(A)∙P(B) sind A und B unabhängig.

Sind B und C unabhängig?

Es ist B $\cap$ C = {(1,3), (3,3), (5,3)}, also P(B$\cap$ C) =$ {3\over{36}}$ =$ {1\over{12}}$ . Außerdem gilt P(B)∙P(C) = $ {6\over{36}} \cdot {18\over{36}} = {1\over{12}}$ . Also sind wegen P(B$\cap$C) = P(B)∙P(C) die Ereignisse B und C unabhängig.

Sind A und C unabhängig?

Es ist A $\cap$ C = {(4,2), (4,4), (4,6)} und also P(A $\cap$ C) =$ {3\over{36}}$ =$ {1\over{12}}$. Außerdem gilt P(A)∙P(C)  = $ {6\over{36}} \cdot {18\over{36}} = {1\over{12}}$ . Also sind auch A und C unabhängig.

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Lösung 5b:

Sind A, B und C gemeinsam unabhängig?

Gemeinsame Unabhängigkeit der Ereignisse A, B und C liegt vor, wenn vier Bedingungen gleichzeitig erfüllt sind:

  • P(A $\cap$ B) = P(A)∙P(B), also die paarweise Unabhängigkeit zwischen A und B,

  • P(A $\cap$ C) = P(A)∙P(C), also die paarweise Unabhängigkeit zwischen A und C,

  • P(B $\cap$ C) = P(B)∙P(C), also die paarweise Unabhängigkeit zwischen B und C

  • und außerdem P(A $\cap$ B $\cap$ C) = P(A)∙P(B)∙P(C).

Die Ereignisse A, B und C sind gemeinsam unabhängig, somit sind die ersten drei Gleichungen gültig. 

Wir rechnen jetzt noch die Gültigkeit der letzten Gleichung aus. Zunächst ist A $\cap$ B $\cap$ C = {(4,3)} $\cap$ C = Ø. Also gilt P(A $\cap$ B$\cap$ C) = P(Ø) = 0. Hingegen ist P(A)∙P(B)∙P(C) = $ {1\over{6}} \cdot {1\over{6}} \cdot {1\over{2}}= {1\over{72}}$≠ 0. Also gilt die letzte der o.e. vier Gleichungen nicht, weshalb A, B und C insgesamt nicht gemeinsam unabhängig sind.

Aufgabe 6:

  1. Wenn drei Ereignisse jeweils paarweise unabhängig sind, dann sind sie auch gemeinsam unabhängig.
  2. Wenn drei Ereignisse gemeinsam unabhängig sind, dann sind sie auch paarweise unabhängig.
  3. Wenn zwei Ereignisse disjunkt sind, dann sind sie auch unabhängig und umgekehrt.
  4. Wenn A und B unabhängig sind, dann sind auch die Ereignisse $\overline{A}$ und B unabhängig.
  5. Bei unabhängigen Ereignissen A und B ist die bedingte Wahrscheinlichkeit P(A|B) immer ausrechenbar als Wahrscheinlichkeit des vorne stehenden Ereignisses, also P(A|B) = P(A). Damit sind bedingte Wahrscheinlichkeiten im Falle der Unabhängigkeit ausrechenbar als unbedingte Wahrscheinlichkeiten.

Beachte, dass sich die Aufgabe e) erst bearbeiten lässt mit dem Wissen aus dem Kapitel 4 „Bedingte Wahrscheinlichkeiten“.

Vertiefung

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Lösung:

a) Wenn drei Ereignisse jeweils paarweise unabhängig sind, dann sind sie auch gemeinsam unabhängig.

Falsch. Bedingung für die gemeinsame Unabhängigkeit der drei Ereignisse A, B und C ist, dass sie paarweise unabhängig sind, und dass zusätzlich gilt P(A $\cap$ B $\cap$ C) = P(A)·P(B)·P(C).

b) Wenn drei Ereignisse gemeinsam unabhängig sind, dann sind sie auch paarweise unabhängig.

Richtig.

c) Wenn zwei Ereignisse disjunkt sind, dann sind sie auch unabhängig und umgekehrt.

Falsch. Die Geburt eines Menschen liefert zwei mögliche Ereignisse bzgl. des Geschlechts: männlich (M) und weiblich (W). Die Ereignisse M und W sind disjunkt, denn ein neugeborenes Kind ist nicht gleichzeitig männlich und weiblich: M $\cap$ W= Ø. Trotzdem besteht eine (hochgradige) Abhängigkeit, denn man ist genau dann männlich, wenn man nicht weiblich ist und umgekehrt: P(M $\cap$ W) ≠ P(M)·P(W), denn P(M$\cap$W) = P(Ø) = 0, aber P(M)·P(W) = ½·½ = ¼ ≠ 0. Es gilt also vielmehr, dass aus der Disjunktheit eine Abhängigkeit folgt, nicht jedoch die behauptete Unabhängigkeit.

d) Wenn A und B unabhängig sind, dann sind auch die Ereignisse $\overline{A}$ und B unabhängig.

Richtig.

e) Bei unabhängigen Ereignissen A und B ist die bedingte Wahrscheinlichkeit P(A|B) immer ausrechenbar als Wahrscheinlichkeit des vorne stehenden Ereignisses, also P(A|B) = P(A). Damit sind bedingte Wahrscheinlichkeiten im Falle der Unabhängigkeit ausrechenbar als unbedingte Wahrscheinlichkeiten.

Richtig, es ist die bedingte Wahrscheinlichkeit P(A|B) = $ {{P(A \cap B)} \over {P(B)}} = {{P(A) P(B)} \over {P(B)}} = P(A)$, also gleich der entsprechenden unbedingten Wahrscheinlichkeit.